地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框9×7，凹口宽7、深2，平移[-5, 8]，顶点[[-5, 8], [4, 8], [4, 15], [3, 15], [3, 13], [-4, 13], [-4, 15], [-5, 15]]。逐边交叉差[-72, 28, 15, -6, 91, -8, 15, 35]，合计98，带符号面积49，倒序为-49，实际面积49。

第2组外框9×11，凹口宽5、深10，平移[-3, 0]，顶点[[-3, 0], [6, 0], [6, 11], [5, 11], [5, 1], [0, 1], [0, 11], [-3, 11]]。逐边交叉差[0, 66, 11, -50, 5, 0, 33, 33]，合计98，带符号面积49，倒序为-49，实际面积49。

第3组外框8×9，凹口宽6、深2，平移[-9, 8]，顶点[[-9, 17], [-8, 17], [-8, 15], [-2, 15], [-2, 17], [-1, 17], [-1, 8], [-9, 8]]。逐边交叉差[-17, 16, -90, -4, -17, 9, 64, -81]，合计-120，带符号面积-60，倒序为60，实际面积60。

第4组外框11×6，凹口宽1、深4，平移[-9, -8]，顶点[[-9, -2], [-4, -2], [-4, -6], [-3, -6], [-3, -2], [2, -2], [2, -8], [-9, -8]]。逐边交叉差[10, 16, 6, -12, 10, -12, -88, -54]，合计-124，带符号面积-62，倒序为62，实际面积62。

第5组外框9×12，凹口宽7、深8，平移[4, -4]，顶点[[4, -4], [13, -4], [13, 8], [12, 8], [12, 0], [5, 0], [5, 8], [4, 8]]。逐边交叉差[36, 156, 8, -96, 0, 40, 8, -48]，合计104，带符号面积52，倒序为-52，实际面积52。

第6组外框11×9，凹口宽2、深7，平移[-8, -6]，顶点[[-8, 3], [0, 3], [0, -4], [2, -4], [2, 3], [3, 3], [3, -6], [-8, -6]]。逐边交叉差[-24, 0, 8, 14, -3, -27, -66, -72]，合计-170，带符号面积-85，倒序为85，实际面积85。

第7组外框12×10，凹口宽6、深9，平移[5, -8]，顶点[[5, 2], [10, 2], [10, -7], [16, -7], [16, 2], [17, 2], [17, -8], [5, -8]]。逐边交叉差[-10, -90, 42, 144, -2, -170, -96, 50]，合计-132，带符号面积-66，倒序为66，实际面积66。

第8组外框10×11，凹口宽4、深9，平移[-4, -1]，顶点[[-4, 10], [0, 10], [0, 1], [4, 1], [4, 10], [6, 10], [6, -1], [-4, -1]]。逐边交叉差[-40, 0, -4, 36, -20, -66, -10, -44]，合计-148，带符号面积-74，倒序为74，实际面积74。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。